两个数学公式求1的平方+3的平方+5的平方+.+(2n-1）的平方通项公式2的平方+4的平方+6的平方+.+(2n）的平方通项公式

Question

两个数学公式
求
1的平方+3的平方+5的平方+.+(2n-1）的平方通项公式
2的平方+4的平方+6的平方+.+(2n）的平方通项公式

Answer 1

要求得这两个通项的公式,首先要知道一个基本的通项：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ①
关于这个通项的证明在解答的最后又说明,如果不清楚可以看一下.
下面的证明建立在①这个通项上.
1.
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2
方法①
设An=(2n-1)^2
展开得An=4n^2-4n+1
求An的和就是把4n^2,-4n以及1这三个数列的和加在一起
4n^2的和=4*n(n+1)(2n+1)/6=2*n(n+1)(2n+1)/3
-4n的和=-4(1+n)n/2=-2n(n+1)
常值数列1的和=n
所以加起来就是2*n(n+1)(2n+1)/3 - 2n(n+1) +n
整理一下就是n（2n-1）（2n+1）/3
所以1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2通项为n（2n-1）（2n+1）/3
方法②
因为1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2+ 2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
所以只要求出 2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2的通项,就可以求出1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2的通项了.下面就来求2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2的通项
2.
设an=(2n）^2=4n^2
则an的和就是4*n(n+1)(2n+1)/6=2n(n+1)(2n+1)/3
所以2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2的通项为2n(n+1)(2n+1)/3
下面是辅助的信息
关于1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 的证明：
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,
所以(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
移项得：2n^3+3n^2+n=63(1^2+2^2+3^2+.+n^2)
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6