已知函数y=ax2+2ax+1的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为22，解关于x的不等式x2-x-a2-a＜0．

Question

已知函数y=√(ax2+2ax+1)的定义域为R．
（1）求a的取值范围．
（2）若函数的最小值为(√(2))/(2)，解关于x的不等式x²-x-a²-a＜0．

Answer 1

（1）∵函数y=√(ax2+2ax+1)的定义域为R，
∴a=0时，满足题意；
a＞0时，△=4a²-4a≤0，解得0＜a≤1；
∴a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
（2）∵函数y的最小值为(√(2))/(2)，
∴√(ax2+2ax+1)≥(√(2))/(2)，a∈[0，1]；
∴ax²+2ax+1≥(1)/(2)；
当a=0时，不满足条件；
当1≥a＞0时，ax²+2ax+1的最小值是(4a−4a2)/(4a)=(1)/(2)，∴a=(1)/(2)；
∴不等式x²-x-a²-a＜0可化为x²-x-(3)/(4)＜0，
解得-(1)/(2)＜x＜(3)/(2)；
∴不等式的解集是{x|-(1)/(2)＜x＜(3)/(2)}．