在平面直角坐标系xOy中有一矩形AOCD,其中A(0,2),C(2根号3,0),若将△OCD沿OD所在直线折叠,点C落在B处,OB交AD于E,连接AB.（1）判断四边形AODB是什么四边形?说明理由.（2）点P是线段OD上一点,若PA+PB的值

Question

在平面直角坐标系xOy中有一矩形AOCD,其中A(0,2),C(2根号3,0),若将△OCD沿OD所在直线折叠,点C落在B处,
OB交AD于E,连接AB.（1）判断四边形AODB是什么四边形?说明理由.（2）点P是线段OD上一点,若PA+PB的值最小,请求出P的坐标.
（3）在（2）条件下，点M在直线BP上，点N在直线OB上，是否存在以M,N,A,B为顶点的平行四边形；若存在，共有几个平行四边形，并写出M,N,的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

(1)四边形AODB是等腰梯形.
证明:∵⊿AOD≌⊿CDO≌⊿BDO.
∴点A和B到OD的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)
∴AB∥OD;又AO=DC=DB,AB≠OD.故四边形AODB为等腰梯形.
(2)解:点B和点C关于OD对称,连接AC.则AC与OD的交点即为点P.
PA+PB=PA+PC=√(AO²+OC²)=4,即PA+PB最小值为4;
点P为AC与OD的交点,故点P为(√3, 1).
(3)存在以M,N,A,B为顶点的平行四边形,共有两个.
①M为(√3,1),N为(0,0);②M为(√3,5),N为(2√3,6).