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探究题:如图:(1)△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立
题目详情
探究题:如图:
(1)△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?请证明你的结论;
(2)如果把原题中“动点D在边CA上,动点P边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条
件不变,如图(2)所示,两点运动过程中∠BQP的大小保持不变.请你利用图(2)的情形,
求证:∠BQP=60°;
(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC于E”,其他条件不变,如图(3),则动点D,P在运动过程中,DE始终等于PE吗?写出证明过程.
(1)△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?请证明你的结论;
(2)如果把原题中“动点D在边CA上,动点P边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条
件不变,如图(2)所示,两点运动过程中∠BQP的大小保持不变.请你利用图(2)的情形,
求证:∠BQP=60°;
(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC于E”,其他条件不变,如图(3),则动点D,P在运动过程中,DE始终等于PE吗?写出证明过程.
▼优质解答
答案和解析
考点:
全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质
专题:
分析:
(1)由△ABC为等边三角形,可得∠C=∠ABP=60°,AB=BC,又由这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,可得BP=CD,即可利用SAS,判定△ABP≌△BCD,继而证得结论;(2)同理可证得△ABP≌△BCD(SAS),则可得∠APB=∠BDC,然后由∠APB-∠PAC=∠ACB=60°,∠DAQ=∠PAC,求得∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°;(3)首先过点D作DG∥AB交BC于点G,则可证得△DCG为等边三角形,继而证得△DGE≌△PBE(AAS),则可证得结论.
(1)成立.理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠C=∠ABP=60°,AB=BC,根据题意得:CD=BP,在△ABP和△BCD中,AB=BC∠ABP=∠CBP=CD,∴△ABP≌△BCD(SAS),∴AP=BD;(2)根据题意,CP=AD,∴CP+BC=AD+AC,即BP=CD,在△ABP和△BCD中,AB=BC∠ABP=∠BCDBP=CD,∴△ABP≌△BCD(SAS),∴∠APB=∠BDC,∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°,∠DAQ=∠PAC,∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°;(2)DE=PE.理由:过点D作DG∥AB交BC于点G,∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°,∠GDE=∠BPE,∴△DCG为等边三角形,∴DG=CD=BP,在△DGE和△PBE中,∠DEG=∠PEB∠GDE=∠BPEDG=PB,∴△DGE≌△PBE(AAS),∴DE=PE.
点评:
此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
考点:
全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质
专题:
分析:
(1)由△ABC为等边三角形,可得∠C=∠ABP=60°,AB=BC,又由这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,可得BP=CD,即可利用SAS,判定△ABP≌△BCD,继而证得结论;(2)同理可证得△ABP≌△BCD(SAS),则可得∠APB=∠BDC,然后由∠APB-∠PAC=∠ACB=60°,∠DAQ=∠PAC,求得∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°;(3)首先过点D作DG∥AB交BC于点G,则可证得△DCG为等边三角形,继而证得△DGE≌△PBE(AAS),则可证得结论.
(1)成立.理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠C=∠ABP=60°,AB=BC,根据题意得:CD=BP,在△ABP和△BCD中,AB=BC∠ABP=∠CBP=CD,∴△ABP≌△BCD(SAS),∴AP=BD;(2)根据题意,CP=AD,∴CP+BC=AD+AC,即BP=CD,在△ABP和△BCD中,AB=BC∠ABP=∠BCDBP=CD,∴△ABP≌△BCD(SAS),∴∠APB=∠BDC,∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°,∠DAQ=∠PAC,∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°;(2)DE=PE.理由:过点D作DG∥AB交BC于点G,∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°,∠GDE=∠BPE,∴△DCG为等边三角形,∴DG=CD=BP,在△DGE和△PBE中,∠DEG=∠PEB∠GDE=∠BPEDG=PB,∴△DGE≌△PBE(AAS),∴DE=PE.
点评:
此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
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