关于海伦公式的推论三角形的是S=SQR[P(P-A)(P-B)(P-C)]圆内接四边形是S=SQR[(P-A)(P-B)(P-C)(P-D)]..那内接五边形呢?怎么感觉四边形根号里少了一个P?海伦公式的多边形推论是什么？

Question

关于海伦公式的推论
三角形的是S=SQR[P(P-A)(P-B)(P-C)]
圆内接四边形是S=SQR[(P-A)(P-B)(P-C)(P-D)]
..那内接五边形呢?怎么感觉四边形根号里少了一个P?
海伦公式的多边形推论是什么？

Answer 1

对,没少
三、 海伦公式的推广
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广.由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明.
证明：如图,延长DA,CB交于点E.
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
∴ = = =
解得：e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①,②跟b = 代入公式变形④,得：
∴S四边形ABCD =
所以,海伦公式的推广得证.
四、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍.
例题：如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1,CD = 2.
求：四边形可能为等腰梯形.
设BC = x
由海伦公式的推广,得：
(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0
当x = 1时,AD = BC = 1
∴ 四边形可能为等腰梯形.
在程序中实现(VBS):
Dim a,b,c,p,s
a=inputbox("输入三角形第一边")
a=cint(a)
b=inputbox("输入三角形第二边")
b=cint(b)
c=inputbox("输入三角形第三边")
c=cint(c)
p=(a+b+c)/2
s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
msgbox s,,"三角形面积"