将n2个数排成n行n列的一个数阵：a11a12a13…a1na21a22a23…a2na31a32a33…a3n…an1an2an3…ann已知a11=2，a13=a61+1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m

Question

将n²个数排成n行n列的一个数阵：
a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n
a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n
a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n
…
a_n1a_n2a_n3…a_nn
已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．
（1）求第i行第j列的数a_ij；
（2）求这n²个数的和．

Answer 1

（1）由a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1得2m²=2+5m+1，
解得m=3或m=-(1)/(2)（舍去）．
a_ij=a_i1•3^j-1=[2+（i-1）m]3^j-1=（3i-1）3^j-1．
（2）S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+…+（a_n1+a_n2+…+a_nn）
=(a11(1−3n))/(1−3)+(a21(1−3n))/(1−3)+…+(an_1)/(()1−3n)
=(1)/(2)（3ⁿ-1）•((2+3n−1)n)/(2)=(1)/(4)n（3n+1）（3ⁿ-1）．