设n为自然数,n+1能被24整除.求证：n的全体约数的和也能被24整除用红色框起来的那部分是怎么算得的?

Question

设n为自然数,n+1能被24整除.求证：n的全体约数的和也能被24整除
用红色框起来的那部分是怎么算得的?

Answer 1

∵n+1能被24整除
∴令(n+1)÷24=k(k∈n+)
∴n+1=24k
∴n=24k-1
①当k是1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,.时,24k-1是一个质数(除去4,14,24,34,44,.10n-6)
∴它的约数就是1和它本身
∴它的约数的和=1+(24k-1)=24k
显然,24k是24的倍数,所以,24k能被24整除
②特别地,当k=4,14,24,34.亦即k=10n-6时,
24k-1=24（10n-6)-1=5(48n-29)
它的约数是1,5,48n-29,5(48n-29)
它们的和=1+5+48n-29+240n-145=288n-168=24(12n-7)
显然,24（12n-7)也能被24整除
综上,命题得证