设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，当x∈[-1，0]，f（x）=x2e-（x+1），若g（x）=f（x）-logax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点，则实数a的取值范

Question

设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，当x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1），若g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

∵对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，
∴函数f（x）是周期为2的偶函数，
∵当x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1），
∴f′（x）=2xe^-（x+1）-x²e^-（x+1）<0，
则函数f（x）在[-1，0]上递减，在（0，1]上递增，
而g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点
可化为函数f（x）与y=log_ax在x∈（0，+∞）上有三个不同的交点，
故作函数f（x）与y=log_ax在（0，+∞）上的图象可得，

由图象可得，log_a3<1，log_a5>1，
解得3故答案为：（3，5）．