P为以r为半径的⊙O外一点，T是⊙O上一点，PO交⊙O于A点，cos∠OPT=32，∠OAT=60°，PBC为⊙O割线（1）求证：PT是切线；（2）设PB为x，PC为y求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）由（2）

Question

P为以r为半径的⊙O外一点，T是⊙O上一点，PO交⊙O于A点，cos∠OPT=(√(3))/(2)，∠OAT=60°，PBC为⊙O割线
（1）求证：PT是切线；
（2）设PB为x，PC为y求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）由（2）中，若x、y是关于z的方程4z²-14rz+k=0的两根，且弦长BC=l，求半径r．

Answer 1

（1）证明：连结OT．
∵cos∠OPT=(√(3))/(2)，
∴∠OPT=30°，
又∵∠OPT=60°，
∴∠ATP=30°，
∵OT=OA，
∴∠OTA=60°，
∴∠OTP=90°，
∴PT是⊙O的切线；

（2）∵PT是⊙O的切线，PBC是割线，
∴PT²=PB•PC，
∵PT²=PO²-OT²=（2r）²-r²=3r²，
∴3r²=xy，
故y=(3r2)/(x)，
∵PA＜x=PB≤PT，
由（1）知，△OAT是等边三角形，PA=AT=OA=r，
故自变量x的取值范围为：r≤x＜√(3)r；

（3）∵x、y是关于z的方程4z²-14rz+k=0的两根，
∴xy=(k)/(4)，由（2）知，(k)/(4)=3r²，则k=12r²，
即x、y是方程4z²-14rz+12r²=0的两根，
解得：x=(3)/(2)r，y=2r或x=2r，y=(3)/(2)r，
由函数自变量的取值范围是：r≤x＜√(3)r，而x=2r＞√(3)r舍去，
故方程的解是x=(3)/(2)r，y=2r，
∵BC=y-x=2r-(3)/(2)r=(1)/(2)r=1，
解得：r=2．