（2000•宁波）如图，过⊙O外一点A向⊙O引割线AEB，ADC，DF∥BC，交AB于F．若CE过圆心O，D是AC中点．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若FE，FB的长是方程x2-mx+b2=0（b＞0）的两个根，且△DEF与△CB

Question

（2000•宁波）如图，过⊙O外一点A向⊙O引割线AEB，ADC，DF∥BC，交AB于F．若CE过圆心O，D是AC中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FE，FB的长是方程x²-mx+b²=0（b＞0）的两个根，且△DEF与△CBE相似．
①试用m的代数式表示b；
②代数式3bm−8√(3)b+7的值达到最小时，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵CE过圆心O，
∴CB⊥AB；
∵FD∥BC，
∴FD⊥AB；
∵CE过圆心O，D是AC的中点，
∴OD∥AB；
∴FD⊥OD；
∴DF是圆O的切线．

（2）∵△DEF∽△CBE，
∴(EF)/(BE)＝(DF)/(CB)；
∵(DF)/(BC)=(1)/(2)，BE=BF-EF，
∴(EF)/(BF−EF)=(1)/(2)，
∴BF=3EF；
∵FE+FB=m，FE•FB=b²，
∴EF=(m)/(4)，BF=(3m)/(4)；
∴(m)/(4)•(3m)/(4)=b²；
∴b=(√(3))/(4)m（b＞0）．

（3）将b=(√(3))/(4)m代入代数式3bm−8√(3)b+7得：(3√(3))/(4)m²-6m+7，
当它有最小值时，m=(−6)/(2•(3√(3))/(4))=(4√(3))/(3)；
∵△CEB≌△CBD，
∴CB=CD；
∵CD=(1)/(2)AC，
∴CB=(1)/(2)AC，
∴∠A=30°，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴EC=2EB；
∴CB=√(CE2−BE2)；
∴CB=√(3)BE=√(3)•(1)/(2)m；
∵m=(4√(3))/(3)，
∴BC=2．