在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-1=0相切于点P（2，-1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-1=0相切于点P（2，-1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为√(6)，求直线l的方程．

Answer 1

（1）过点（2，-1）且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-3=0，…（2分）
由

y=-2x

x-y-3=0

 解得

x=1

y=-2

，
所以圆心M的坐标为（1，-2），…（4分）
所以圆M的半径为r=√(2)，…（6分）
所以圆M的方程为 （x-1）²+（y+2）²=2．                   …（7分）
（2）因为直线l被圆M截得的弦长为√(6)，
所以圆心M到直线l的距离为d=√(2-(6)/(4))=(√(2))/(2)，…（9分）
若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，
由d=(|k+2|)/(√(k2+1))=(√(2))/(2)，…（11分）
整理得k²+8k+7=0，
解得k=-1或-7，…（13分）
所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．                …（14分）