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如果存在一个非零常数T,使得定义在R上的函数y=f(x)满足f(x-T)=Tf(x)对任意实数x恒成立,则称函数f(x)为“T周转函数”,现有如下命题:①当T=-1时,T周转函数f(x)是以2为周期的
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如果存在一个非零常数T,使得定义在R上的函数y=f(x)满足f(x-T)=Tf(x)对任意实数x恒成立,则称函数f(x)为“T周转函数”,现有如下命题:
①当T=-1时,T周转函数f(x)是以2为周期的周期函数;
②函数f(x)=x一定是一个T周转函数;
③函数f(x)=sinπx一定是一个T周转函数;
④若f(x)为一个2周转函数,且x∈[0,2],f(x)=1-|x-1|,则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为5.
其中的真命题有___.(写出所有真命题的序号)
①当T=-1时,T周转函数f(x)是以2为周期的周期函数;
②函数f(x)=x一定是一个T周转函数;
③函数f(x)=sinπx一定是一个T周转函数;
④若f(x)为一个2周转函数,且x∈[0,2],f(x)=1-|x-1|,则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为5.
其中的真命题有___.(写出所有真命题的序号)
▼优质解答
答案和解析
对于①,当T=-1时,f(x+1)=-f(x),
即有f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
T周转函数f(x)是以2为周期的周期函数,则①对;
对于②,f(x)=x,f(x-T)=x-T,Tf(x)=xT,
f(x-T)=Tf(x)对任意实数x不成立.则②错;
对于③,函数f(x)=sinπx,f(x-T)=sinπ(x-T),Tf(x)=Tsinπx,
当T=-1时,f(x+1)=-sinπx=-f(x)=-sinπx,
当T=1时,f(x-1)=sinπ(x-1)=-sinπx≠f(x),则③错;
对于④,f(x)为一个2周转函数,且x∈[0,2],f(x)=1-|x-1|,则f(x-2)=2f(x),
则函数F(x)=xf(x)-1的零点个数等于函数y=f(x)与函数y=
图象交点的个数,
在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示:
由图可知函数y=f(x)与函数y=
图象共有6个交点,则④对.
故答案为:①④
即有f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
T周转函数f(x)是以2为周期的周期函数,则①对;
对于②,f(x)=x,f(x-T)=x-T,Tf(x)=xT,
f(x-T)=Tf(x)对任意实数x不成立.则②错;
对于③,函数f(x)=sinπx,f(x-T)=sinπ(x-T),Tf(x)=Tsinπx,
当T=-1时,f(x+1)=-sinπx=-f(x)=-sinπx,
当T=1时,f(x-1)=sinπ(x-1)=-sinπx≠f(x),则③错;
对于④,f(x)为一个2周转函数,且x∈[0,2],f(x)=1-|x-1|,则f(x-2)=2f(x),
则函数F(x)=xf(x)-1的零点个数等于函数y=f(x)与函数y=
1 |
x |
在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示:
由图可知函数y=f(x)与函数y=
1 |
x |
故答案为:①④
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