已知函数f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若k=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围；（

Question

已知函数f（x）=ke^x-x²（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

（Ⅰ）若k=-2，f（x）=-2e^x-x²，则f'（x）=-2e^x-2x，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）=-2e^x-2x＜0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是f′（x）=ke^x-2x=0的两个根，
即方程k＝(2x)/(ex)有两个根，设φ(x)＝(2x)/(ex)，则φ′(x)＝(2−2x)/(ex)，
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使k＝(2x)/(ex)有两个根，只需0＜k＜φ(1)＝(2)/(e)，
故实数k的取值范围是(0，(2)/(e))．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数f（x）的两个极值点x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′(x1)＝kex1−2x1＝0，得k＝(2x1)/(ex1)，
所以f(x1)＝kex1−

x

2 1

＝(2x1)/(ex1)ex1−

x

2 1

＝x1(2−x1)＝−

x

2 1

+2x1＝−(x1−1)2+1，
由于x₁∈（0，1），故0＜−(x1−1)2+1＜1，
所以0＜f（x₁）＜1．