F(x)=x(e^x-1)-ax^2,若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围?f(xF(x)=x(e^x-1)-ax^2,若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围?f(x)=x*(e^x-1)-ax^2所以,f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1则当x=0时,有：f'(x)=0.且f(0)=0已知当x≥0时,f(

Question

F(x)=x(e^x-1)-ax^2 ,若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围?f(x
F(x)=x(e^x-1)-ax^2 ,若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围?
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以,f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时,有：f'(x)=0.且f(0)=0
已知当x≥0时,f(x)≥0
所以,必须满足在x＞0时,f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增,且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以,(0+2)*e^0-2a≥0
则,a≤1
本题为什么要求导两次,它的作用是什么

Answer 1

f(x)≧0
即：x(e^x-1)-ax²≧0
因为x≧0,所以,两边约去一个x得：
e^x-1-ax≧0
ax≦e^x-1
x=0时,0≦0,得：a∈R；
x>0时,a≦(e^x-1)/x
令g(x)=(e^x-1)/x,x>0
g'(x)=(xe^x-e^x+1)/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
令h(x)=(x-1)e^x+1,x>0
h'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x>0
所以,h(x)=(x-1)e^x+1在(0,+∞)上递增,
则：h(x)>h(0)=0
所以,g'(x)=h(x)/x²>0
所以,g(x)=(e^x-1)/x在(0,+∞)上递增,
则：g(x)>g(0),
lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以,g(x)>g(0)=1
所以,a≦1