已知函数f(x)＝x2，g(x)＝log2x，F(x)＝f(x)−g(x)（1）在同一在直角坐标系内作出函数f（x），g（x）的图象；（2）利用图象求F（x）＞0的解集；（3）已知函数y＝F(x)−12的零点是1和x0，若x0∈（n

Question

已知函数f(x)＝(x)/(2)，g(x)＝log2x，F(x)＝f(x)−g(x)
（1）在同一在直角坐标系内作出函数f（x），g（x）的图象；
（2）利用图象求F（x）＞0的解集；
（3）已知函数y＝F(x)−(1)/(2)的零点是1和x₀，若x₀∈（n，n+1）（n∈N），求n的值；
（4）若已知x（x²+3x-6）＞0，解不等式：2x+3•x2＜2(6)/(x)•（x²+3x-6）²．

Answer 1

（1）∵F（x）=(1)/(2)x−log2x（x＞0）
当0＜x≤1时，f（x）＞0，g（x）＜0．f（x）＞g（x）
当1＜x＜2时，f（x）＞g（x）
而f（2）=g（2）=1，f（4）=g（4）=2但是函数f（x）=(1)/(2)x与g（x）=log₂x在（4，+∞）都是单调递增，
但是函数f（x）比函数g（x）的增加速度快
当x＞4时，f（x）＞g（x）
∴函数f（x）=(1)/(2)x，g（x）=log₂x的图象有2个交点，其图象如图所示


（2）由图象可得，当0＜x＜2，或x＞2时，f（x）＞g（x），即F（x）＞0
当2＜x＜4时，f（x）＜g（x），即F（x）＜0
∴F（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2或x＞4}．

（3）由函数y＝F(x)−(1)/(2)的零点是1可得(1)/(2)x−log2x−(1)/(2)＝0即x-1-2log₂x=0的根为1和x₀
令G（x）=x-1-2log₂x
G（1）=0，而G（6）=5-2log₂6＞0，G（5）=4-2log₂5＜0
根据零点存在定理可知，x₀∈（5，6）
∴n=5．
（4）不等式：2x+3•x2＜2(6)/(x)•（x²+3x-6）²．
两边取以2为底的对数得：
x+3+log₂x²＜(6)/(x)+log₂（x²+3x-6）²
即x+3-(6)/(x)＜log₂（x²+3x-6）²-log₂x²
即(1)/(2)（(x2+3x−6)/(x)）＜log₂(x2+3x−6)/(x)
从而由（1）得出2＜(x2+3x−6)/(x)＜4．
即

x＞0

2x＜x2+3x−6＜4x

①或

作业帮用户 2017-10-30 举报

问题解析

（1）根据F（x）=(1)/(2)x−log2x（x＞0）分类讨论：当0＜x≤1时，当1＜x＜2时，比较f（x）和g（x）函数值的大小，进一步得出函数f（x）=(1)/(2)x，g（x）=log₂x的图象有2个交点，再画出图象．
（2）由图象可得，当0＜x＜2，或x＞2时，f（x）＞g（x），当2＜x＜4时，f（x）＜g（x），从而得出F（x）＞0的解集；
（3）由函数y＝F(x)−(1)/(2)的零点是1可得(1)/(2)x−log2x−(1)/(2)＝0即x-1-2log₂x=0的根为1和x₀令G（x）=x-1-2log₂x根据零点存在定理可知，x₀∈（5，6）从而得出n=5；
（4）先对不等式：2x+3•x2＜2(6)/(x)•（x²+3x-6）²．两边取以2为底的对数得：x+3+log₂x²＜(6)/(x)+log₂（x²+3x-6）²最后整理成(1)/(2)（(x2+3x−6)/(x)）＜log₂(x2+3x−6)/(x)，从而由（1）得出2＜(x2+3x−6)/(x)＜4．解之即可．

名师点评

本题考点：

对数函数的图像与性质；指数函数的单调性与特殊点；函数的零点．

考点点评：

本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的图象与性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

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