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已知幂函数f(x)=(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数.(1)求p的值,并写出相应的函数f(x).(2)对于(1)中的f(x),是否存在正实数m,使得g(x)=-f(x)+
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已知幂函数f(x)=(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数.
(1)求p的值,并写出相应的函数f(x).
(2)对于(1)中的f(x),是否存在正实数m,使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在区间[-1,1]上的值域是,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
(1)求p的值,并写出相应的函数f(x).
(2)对于(1)中的f(x),是否存在正实数m,使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在区间[-1,1]上的值域是,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为幂函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,
所以-p2+p+>0,解得-1<p<3.
∵P是整数,∴P的值为0,1,2,
又幂函数在其定义域内是偶函数,所以p=1.
∴函数f(x)=x2.
(2)存在正实数m,使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在区间[-1,1]上的值域是.
∵f(x)=x2,
∴g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1=-x2+(2m-1)x+1,
∴g(-1)=-1-2m+1+1=1-2m,
g(1)=-1+2m-1=2m-1,
∵g(x)在区间[-1,1]上的值域是,
∴1-2m=-1,或2m-1=-1.
当1-2m=-1时,m=1,g(x)=-x2+x+1=-(x-)2+,
∴m=1时,g(x)在区间[-1,1]上的值域是,成立;
当2m-1=-1时,m=0,g(x)=-x2-x+1=-(x+)2+,
∴m=0时,g(x)在区间[-1,1]上的值域是,成立;
综上所述,存在是存在正实数m=1,
使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在区间[-1,1]上的值域是.
所以-p2+p+>0,解得-1<p<3.
∵P是整数,∴P的值为0,1,2,
又幂函数在其定义域内是偶函数,所以p=1.
∴函数f(x)=x2.
(2)存在正实数m,使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在区间[-1,1]上的值域是.
∵f(x)=x2,
∴g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1=-x2+(2m-1)x+1,
∴g(-1)=-1-2m+1+1=1-2m,
g(1)=-1+2m-1=2m-1,
∵g(x)在区间[-1,1]上的值域是,
∴1-2m=-1,或2m-1=-1.
当1-2m=-1时,m=1,g(x)=-x2+x+1=-(x-)2+,
∴m=1时,g(x)在区间[-1,1]上的值域是,成立;
当2m-1=-1时,m=0,g(x)=-x2-x+1=-(x+)2+,
∴m=0时,g(x)在区间[-1,1]上的值域是,成立;
综上所述,存在是存在正实数m=1,
使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在区间[-1,1]上的值域是.
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