（2014•江门模拟）已知抛物线Σ1：y＝14x2的焦点F在椭圆Σ2：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ1相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ2的焦点F2．（1）求椭圆Σ2的方程；（2）设椭圆Σ2的另

Question

（2014•江门模拟）已知抛物线Σ₁：y＝(1)/(4)x2的焦点F在椭圆Σ₂：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ₁相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ₂的焦点F₂．
（1）求椭圆Σ₂的方程；
（2）设椭圆Σ₂的另一个焦点为F₁，试判断直线FF₁与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．

Answer 1

（1）抛物线y＝(1)/(4)x2即x²=4y的焦点F（0，1），
由题意可得(0)/(a2)+(1)/(b2)＝1，解得b=1，
切线l的斜率k＝y/＝(1)/(2)x|x＝2＝1，
∴切线l方程为y-1=x-2，即x-y-1=0，
令y=0，解得x=1．∴焦点F₂（1，0），即c=1．
∴a＝√(b2+c2)＝√(2)，
椭圆Σ₂的方程为(x2)/(2)+y2＝1．
（2）由（1）得F₁（-1，0），
直线FF₁的方程为(y−0)/(1−0)＝(x−(−1))/(0−(−1))，即x-y+1=0，
∵kFF1＝k＝1，且F₁（-1，0）不在直线l上，
∴直线FF₁∥l，
FF₁与l之间的距离即为F（0，1）到直线l的距离d＝(|0−1−1|)/(√(12+12))＝√(2)．