已知函数f(x)满足,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,f(x)>1（1）求f(0)（2）求证：f(x)在R上为增函数（3）若f(6)=7,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x^2)=-1恒成立,求a的范围前两个都没问题最后一

Question

已知函数f(x)满足,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,f(x)>1
（1）求f(0)
（2）求证：f(x)在R 上为增函数
（3）若f(6)=7,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x^2)=-1恒成立,求a的范围
前两个都没问题
最后一个问求解

Answer 1

1、令n=0,则有：f(m)=f(m)+f(0)-1
∴f(0)=1
2、令n＞0,则对任意实数x有：x+n＞x,
且f(x+n)=f(x)+f(n)-1
即：f(x+n)-f(x)=f(n)-1＞0
∴f(x)在R上为增函数
3、f(6)=f(2)+f(4)-1=7
f(4)=2f(2)-1
∴f(2)=3
又f(2)=2f(1)-1
∴f(1)=2
f(ax-2)+f(x-x^2)＜3
→f(ax-2+x-x^2)+1＜3
→f(-x^2+(a+1)x-2)＜2=f(1)
→x^2-(a+1)x+3＞0对x≥-1恒成立
→△=(a+1)^2-12＜0
或对称轴(a+1)/2≤-1且1+(a+1)+3＞0
解得：-5＜a＜2√3-1