（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，-43）和点C（-3，-3）两点均在抛物线上，点F（0，-34）在y轴上，过点（0，34）作直线l与x轴平行．（1）求

Question

（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，-(4)/(3)）和点C（-3，-3）两点均在抛物线上，点F（0，-(3)/(4)）在y轴上，过点（0，(3)/(4)）作直线l与x轴平行．
（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．
（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？
（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；
（4）若点A（-2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．

Answer 1

（1）如图1，
∵抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，
∴抛物线解析式为y=ax²．
∵点C（-3，-3）在抛物线y=ax²上，
∴.9a=-3．
∴a=-(1)/(3)．
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(3)x²．
设直线BC的解析式为y=mx+n．
∵B（2，-(4)/(3)）、C（-3，-3）在直线y=mx+n上，
∴

2m+n＝−(4)/(3)

−3m+n＝−3

．
解得：

m＝(1)/(3)

n＝−2

．
∴直线BC的解析式为y=(1)/(3)x-2．
（2）如图2，
∵点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），
∴y_D=(1)/(3)x-2，且-3＜x＜2．
∵DG⊥x轴，
∴x_G=x_D=x．
∵点G在抛物线y=-(1)/(3)x²上，
∴y_G=-(1)/(3)x²．
∴h=DG=y_G-y_D
=-(1)/(3)x²-（(1)/(3)x-2）
=-(1)/(3)x²-(1)/(3)x+2
=-

作业帮用户 2017-10-09 举报

问题解析

（1）由于抛物线的顶点在坐标原点O，故抛物线的解析式可设为y=ax²，把点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y=mx+n，把点B、C的坐标代入即可求出直线BC的解析式．
（2）由点D（x，y）在线段BC上可得y_D=

(1)/(3)x-2，由点G在抛物线y=-(1)/(3)x²上可得y_G=-(1)/(3)x²．由h=DG=y_G-y_D=-(1)/(3)x²-（(1)/(3)x-2）配方可得h=-(1)/(3)（x+(1)/(2)）²+(25)/(12)．根据二次函数的最值性即可解决问题．
（3）可以证明PF=PN，结合PN∥OF可推出∠PFN=∠OFN；同理可得∠QFS=∠OFS．由∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°可推出∠NFS=90°，故△NFS是直角三角形．
（4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4，由（3）中推出的结论PF=PN可得：抛物线y=-(1)/(3)x²上的点到点F（0，-(3)/(4)）的距离与到直线y=(3)/(4)的距离相等，从而有MF=MH，则MA+MF=MA+MH．由两点之间线段最短可得：当A、M、H三点共线（即AM⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，此时x_M=x_A=-2，从而可以求出点M及点A的坐标，就可求出MF+MA的最小值．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；二次根式的性质与化简；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短．

考点点评：

本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的最值、二次根式的化简、两点之间线段最短等知识，综合性非常强，难度比较大．而证出PF=PN及由此得出“抛物线y=-(1)/(3)x²上的点到点F（0，-(3)/(4)）的距离与到直线y=(3)/(4)的距离相等”是解决第三小题和第四小题的关键．

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