如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD

Question

如图，四边形ABCD内接于 O，对角线AC为 O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是 O的切线；
（3）若AC=2√(5)DE，求tan∠ABD的值．

Answer 1

（1） ∵对角线AC为 O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；

（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是 O的切线；

（3） 如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴(DC)/(AD)=(DE)/(DC)，
∴DC²=AD•DE
∵AC=2√(5)DE，
∴设DE=x，则AC=2√(5)x，
则AC²-AD²=AD•DE，
期（2√(5)x）²-AD²=AD•x，
整理得：AD²+AD•x-20x²=0，
解得：AD=4x或-5x（负数舍去），
则DC=√((2√(5)x)2-(4x)2)=2x，
故tan∠ABD=tan∠ACD=(AD)/(DC)=(4x)/(2x)=2．