如图,抛物线F：y=ax^2+bx+c的顶点为P,抛物线与y轴交于点A,与直线OP交于点B,过点P作PD⊥x轴于点D,平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F’：y=a’x^2+b’x+c’，抛物线F’与x轴的另一个交点为C.(1)\x

Question

如图,抛物线F：y=ax^2+bx+c的顶点为P,抛物线与y轴交于点A,与直线OP交于点B,过点P作PD⊥x轴于点D,平移
抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F’：y=a’x^2+b’x+c’，抛物线F’与x轴的另一个交点为C.
(1)\x09当a=1,b=-2,c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）
（2）探究四边形OABC的形状，并说明理由。

Answer 1

（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得,开口方向和开口大小都无变化,因此a=a′=1；由于两条抛物线都与y轴交于A点,那么c=c′=3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标,即可得出D点的坐标,然后将D的坐标代入抛物线F′中,即可求出抛物线F′的解析式,进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似,在求出D的坐标后,将D的坐标代入抛物线F′中,即可得出关于b,b′的关系式即可得出b,b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状,无非是平行四边形,菱形,矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形,已知了OA∥BC,只需看A,B的纵坐标是否相等,即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标,然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标,然后判断B的纵坐标是否与A点相同,如果相同,则四边形OABC是矩形（∠AOC=90°）,如果B,A点的纵坐标不相等,那么四边形AOCB是个直角梯形．
（1）C（3,0）；
（2）①抛物线y=ax2+bx+c,
令x=0,则y=c,
∴A点坐标（0,c）．
∵b2=2ac,
∴4ac-b24a=4ac-2ac4a=2ac4a=c2,
∴点P的坐标为（-b2a,c2）．
∵PD⊥x轴于D,∴点D的坐标为（-b2a,0）．
根据题意,得a=a′,c=c′,
∴抛物线F′的解析式为y=ax2+b'x+c．
又∵抛物线F′经过点D（-b2a,0）,
∴0=a×b24a2+b′(-b2a)+c．
∴0=b2-2bb'+4ac．
又∵b2=2ac,
∴0=3b2-2bb'．
∴b：b′=2：3．
②由①得,抛物线F′为y=ax2+32bx+c．
令y=0,则ax2+32bx+c=0．
∴x1=-b2a,x2=-ba．
∵点D的横坐标为-b2a
∴点C的坐标为（-ba,0）．
设直线OP的解析式为y=kx．
∵点P的坐标为（-b2a,c2）,
∴c2=-b2ak,
∴k=-acb=-2ac2b=-b22b=-b2,
∴y=-b2x．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点,
∴ax2+bx+c=-b2x．
∴x1=-b2a,x2=-ba．
∵点P的横坐标为-b2a,
∴点B的横坐标为-ba．
把x=-ba代入y=-b2x,
得y=-b2（-ba）=b22a=-2ac2a=c．
∴点B的坐标为（-ba,c）．
∴BC∥OA,AB∥OC．（或BC∥OA,BC=OA）,
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°,
∴四边形OABC是矩形．