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四边形ABCD是菱形,点E在BC上,点F在AB上,点H在CD上,连接AE,FH交于点P,∠APF=∠ABC.(1)如图1,若∠ABC=90°,点F和点B重合,求证:AE=BH;(2)如图2.求证:AE=FH;(3)如图3,若AF+CH=BE,
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四边形ABCD是菱形,点E在BC上,点F在AB上,点H在CD上,连接AE,FH交于点P,∠APF=∠ABC.
(1)如图1,若∠ABC=90°,点F和点B重合,求证:AE=BH;
(2)如图2.求证:AE=FH;
(3)如图3,若AF+CH=BE,求∠B的度数.
(1)如图1,若∠ABC=90°,点F和点B重合,求证:AE=BH;
(2)如图2.求证:AE=FH;
(3)如图3,若AF+CH=BE,求∠B的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1中,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∵∠APF=∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠ABP=90°,∠ABP+∠CBH=90
∴∠BAE=∠CBH,
在△ABE和△BCH中,
,
∴△ABE≌△BCH,
∴AE=BH.
(2)证明:如图2中,延长CB到N,使得AN=AE,作HM∥BC交AB于M.
则四边形ADHM是平行四边形,AD=HM,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=HM,
∵HM∥CN,
∴∠HMF=∠ABN,
∵∠APF=∠ABC,∠PAF=∠BAE,
∴∠AFP=∠AEB=∠N,
∴△ABN≌△HMF,
∴AN=HF,
∵AE=AN,
∴AE=HF.
(3) 如图3中,在CB取一点N,使得AN=AE,作FM∥BC交CD于M.
则四边形ADMF是平行四边形,AD=FM,AF=DM,
由(1)可知△ABN≌△FMH,
BN=HM,
∵BC=CD,AF+CH=DM+CH=BE,
∴CE=HM=BN,
在△ANB和△AEC中,
,
∴△ANB≌△AEC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∵∠APF=∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠ABP=90°,∠ABP+∠CBH=90
∴∠BAE=∠CBH,
在△ABE和△BCH中,
|
∴△ABE≌△BCH,
∴AE=BH.
(2)证明:如图2中,延长CB到N,使得AN=AE,作HM∥BC交AB于M.
则四边形ADHM是平行四边形,AD=HM,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=HM,
∵HM∥CN,
∴∠HMF=∠ABN,
∵∠APF=∠ABC,∠PAF=∠BAE,
∴∠AFP=∠AEB=∠N,
∴△ABN≌△HMF,
∴AN=HF,
∵AE=AN,
∴AE=HF.
(3) 如图3中,在CB取一点N,使得AN=AE,作FM∥BC交CD于M.
则四边形ADMF是平行四边形,AD=FM,AF=DM,
由(1)可知△ABN≌△FMH,
BN=HM,
∵BC=CD,AF+CH=DM+CH=BE,
∴CE=HM=BN,
在△ANB和△AEC中,
|
∴△ANB≌△AEC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
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