设二维随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）=2e−(2x+y)，x＞0，y＞00，其它.（1）求分布函数F（x，y）；（2）求概率P{Y≤X}．

Question

设二维随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）=

2e−(2x+y)，x＞0，y＞0

0，其它.

（1）求分布函数F（x，y）；
（2）求概率P{Y≤X}．

Answer 1

（1）F(x，y)＝

∫

y −∞

 

∫

x −∞

f(x，y)dxdy=

∫

y 0

 

∫

x 0

2e−(2x+y)dxdy，

amp;x＞0，y＞0

0，

amp;其它

，
即有
F(x，y)＝

(1−e−2x)(1−e−y)，	amp;x＞0，y＞0
0，	amp;其它

．
（2）将（X，Y）看作是平面上随机点的坐标，即有{Y≤X}={（X，Y）∈G}，
其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分，于是
P{Y≤X}=P{（x，y）∈G}=

∫∫

G

f(x，y)dxdy=

∫

+∞ 0

 

∫

+∞ y

2e−(2x+y)dxdy
=

∫

+∞ −∞

dy

∫

+∞ y

2e−(2x+y)dx=

∫

+∞ −∞

e−y[−e−2x]|_+∞dy
=

∫

+∞ −∞

e

作业帮用户 2017-11-14 举报