积分的问题∫∫e^(x^2+y^2)∫∫e^(x^2+y^2)=∫(0,π/2)dθ∫(0,R)re^-r^2dr=(∫(0,π/2)dθ)*(∫(0,R)re^-r^2dr)=π/4(1-e^-r^2)我想问的是如何从(∫(0,π/2)dθ)*(∫(0,R)re^-r^2dr)到π/4(1-e^-r^2)这里的,请写具体点,还有就是

Question

积分的问题∫∫e^(x^2+y^2)
∫∫e^(x^2+y^2)=∫(0,π/2)dθ∫(0,R)re^-r^2dr=(∫(0,π/2)dθ)*(∫(0,R)re^-r^2dr)=π/4(1-e^-r^2)
我想问的是如何从(∫(0,π/2)dθ)*(∫(0,R)re^-r^2dr)到π/4(1-e^-r^2)这里的,请写具体点,还有就是关于sinxdx,cosxdx,e^xdx积分是如何转换的,这些是不是有公式
我想知道的是
(∫(0,π/2)dθ)*(∫(0,R)re^-r^2dr)到π/4(1-e^-r^2)，我知道极坐标，但那个(∫(0,R)re^-r^2dr)要怎么解

Answer 1

用极坐标代换：
∫∫e^(x^2+y^2)=∫(0,π/2)dθ∫(0,R)re^(-r^2)dr
=(π/4)∫(0,R)e^(-r^2)dr^2=(π/4)(-e^(-r^2))|(0,R)
=π/4(1-e^(-R^2))
(sinx)'=cosx ∫cosxdx=sinx+c
(cosx)'=-sinx ∫sinxdx=-cosx+c
(e^x)=e^x ∫e^xdx=e^x+c