设α1,α2,．．．αn是n个n维向量,若n维标准基向量e1,e2,.en能由它们线性表示,证明α1,α2,．．．αn线性无关.

Question

设α1,α2,．．．αn是n个n维向量,若n维标准基向量e1,e2,.en能由它们线性表示,证明α1,α2,．．．αn线性无关.

Answer 1

一方面,由已知 α1,α2,．．．αn 可由 e1,e2,.en 线性表示.
另一方面,任一个n维向量可由 e1,e2,.en 线性表示
所以两个向量组等价.
所以 r(α1,α2,．．．αn) = r(e1,e2,.en) = n
所以 α1,α2,．．．αn 线性无关.