求助：矩阵和的n次方解法比如（3E+B）^n=(3E)^n+n*(3E)^(n-1)*B（E+B）^n=E^n+n*E^(n-1)*B+n(n-1)/2*E^(n-2)*B^2我怎么觉得只是乘以个3就差距这么大呢?这个和的N次方有一定的公式

Question

求助：矩阵和的n次方解法
比如 （3E+B）^n = (3E)^n + n * (3E)^(n-1) * B
（E+B）^n = E^n + n * E^(n-1) * B + n(n-1)/2 * E^(n-2) * B^2
我怎么觉得只是乘以个3就差距这么大呢?
这个和的N次方有一定的公式吗?比如（A+B）的n次方?
谢谢!

Answer 1

你给的例子是有条件的,第1个有B^2=0,第2个是B^3=0
一般情况下,当A,B可交换时,即AB=BA时
(A+B)^n = C(n,0)A^n+C(n,1)A^(n-1)B+C(n,2)A^(n-2)B^2+...+C(n,n)B^n
也就是说,当A,B可交换时 (A+B)^n 可用二项式公式展开
你给的例子中 3E 和 E 都可与B交换,所以可以用二项式展开.
在求矩阵的n次方的时候,这是一种解决方法
这样处理的前提是:
1.和号的两项可交换
2.其中一项的n次幂容易计算
3.另一项的低次幂等于0矩阵
满足这几个条件后,就能用二项式公式展开 (1保证),且展开后非零项很少(3) 且容易计算(2).
例如:求C的n次幂
C=
2 4
0 2
= 2E+B
其中 B =
0 4
0 0
因为 (2E)B = B(2E),B^2=0 --可交换,低次幂为0
所以 C^n
= (2E+B)^n = (2E)^n+n(2E)^(n-1)B
= 2^nE+n2^(n-1)B
=
2^n 2n2^n
0 2^n