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设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解,c1,c2是任意常数,则该非齐次方程的通解是()A.c1y1+c2y2+y3B.c1y1+c2y2-(c1+c2)y3C.c1y1+c2y2-(1-c1-c
题目详情
设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解,c1,c2是任意常数,则该非齐次方程的通解是( )
A.c1y1+c2y2+y3
B.c1y1+c2y2-(c1+c2)y3
C.c1y1+c2y2-(1-c1-c2)y3
D.c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3
A.c1y1+c2y2+y3
B.c1y1+c2y2-(c1+c2)y3
C.c1y1+c2y2-(1-c1-c2)y3
D.c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3
▼优质解答
答案和解析
因为:y1,y2,y3线性无关,
所以:y1-y3,y2-y3是线性无关的.
又因为:函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解,
所以:c1(y1-y3)+c2(y2-y3)是y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解,
根据二阶线性非齐次微分方程的结构可知:
c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3=c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的通解,
故选:D.
因为:y1,y2,y3线性无关,
所以:y1-y3,y2-y3是线性无关的.
又因为:函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解,
所以:c1(y1-y3)+c2(y2-y3)是y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解,
根据二阶线性非齐次微分方程的结构可知:
c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3=c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的通解,
故选:D.
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