已知x>0，y>0，且x+8y-xy=0．（1）当x，y分别为何值时，xy取得最小值？（2）当x，y分别为何值时，x+y取得最小值？

Question

已知x>0，y>0，且x+8y-xy=0．
（1）当x，y分别为何值时，xy取得最小值？
（2）当x，y分别为何值时，x+y取得最小值？

Answer 1

（1）∵x>0，y>0，且x+8y-xy=0，
∴xy=x+8y≥4√(2)xy，当且仅当x=8y，即x=16，y=2时取等号，
∴xy≥32．
∴xy的最小值为8．
（2）∵x+8y-xy=0，∴(8)/(x)+(1)/(y)=1，
∴x+y=（x+y）（(8)/(x)+(1)/(y)）=9+(x)/(y)+(8y)/(x)≥9+4√(2)，当且仅当(x)/(y)=(8y)/(x)，即y=1+2√(2)，x=8+2√(2)时取等．
因此x+y的最小值为9+4√(2)．