已知{an}是首项为a1=1的等差数列且满足an+1＞an（n∈N*），等比数列{bn}的前三项分别为b1=a1+1，b2=a2+1，b3=a3+3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足（an+3）cnlog2bn=12，求数列{

Question

已知{a_n}是首项为a₁=1的等差数列且满足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比数列{b_n}的前三项分别为b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足（a_n+3）c_nlog₂b_n=(1)/(2)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
首项a₁=1，b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d，
∵{b_n}为等比数列，∴

b

2 2

＝b1b3，
即（2+d）²=2（4+2d），解得d=±2，
又∵a_n+1＞a_n，即数列{a_n}为单调递增数列，
∴d=2，a₂=3，a₃=5，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
则b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn＝b1qn−1＝2n，
∴a_n=2n-1，bn＝2n，
（Ⅱ）由题意得，(an+3)cnlog2bn＝(1)/(2)，再由（1）结果代入，
变形得cn＝(1)/(2(an+3)log2bn)＝(1)/(2n(2n+2))＝(1)/(2)((1)/(2n)−(1)/(2n+2))，
∴S_n=(1)/(2)((1)/(2)−(1)/(4))+(1)/(2)((1)/(4)−(1)/(6))+(1)/(2)((1)/(6)−(1)/(8))+…+(1)/(2)((1)/(2n)−(1)/(2n+2))
=(1)/(2)((1)/(2)−(1)/(2n+2))=(n)/(4(n+1))．