高手整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...求这样的整数列的个数整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...求这样的整数列的个数

Question

【高手】整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...求这样的整数列的个数
整数数列{an}满足a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3,n=2,3,4...
求这样的整数列的个数

Answer 1

a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)n(n+1)/3 (1)
a1a2+a2a3+...+a(n-1)an+ana(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 (2)
(2)-(1)
ana(n+1)=n(n+1)(n+2)/3-(n-1)n(n+1)/3=[n(n+1)/3](n+2-n+1)=n(n+1)
n和n+1互质,an=1时,a(n+1)=1,ana(n+1)≠n(n+1),因此an≠1,同理,an≠-1
a(n+1)≠1,a(n+1)≠-1,存在如下4种情况：
(1)
an=n a(n+1)=n+1 满足题意,通项公式为an=n.代回已知等式验证,成立.
(2)
an=-n a(n+1)=-(n+1) 满足题意
a(n+1)-an=-(n+1)+n=-1
数列{an}是首项为-1,公差为-1的等差数列.
an=-1+(-1)(n-1)=-n,代回已知等式验证,成立.
(3)
an=(n+1) a(n+1)=n
an=n+1时,a(n+1)=n+2,与a(n+1)=n矛盾,舍去.
(4)
an=-(n+1) a(n+1)=-n
an=-(n+1)时,a(n=1)=-(n+2),与a(n+1)=n矛盾,舍去.
综上,得满足题意的整数数列的个数是2.