设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,.X为样本均值,记Yi=Xi-.X,i=1,2,…�设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,.X为样本均值,记Yi=Xi-.
设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,.X为样本均值,记Yi=Xi-.X,i=1,2,…�
设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,为样本均值,记Yi=Xi-,i=1,2,…,n.
求:
(Ⅰ) Yi的方差DYi,i=1,2,…,n;
(Ⅱ)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
(Ⅲ)若c(Y1+Yn)2是σ2的无偏估计量,求常数c.
答案和解析
由题设,知:X
1,X
2,…,X
n(n>2)相互独立,
且:
EXi=0,DXi=σ2(i=1,2,…,n),E=0,
(I)
由方差的性质可得:
DYi=D(Xi?)=D[(1?)Xi?n |
|
j≠i |
Xj]=(1?)2DXi+n |
|
j≠i |
DXj
=σ2+?(n?1)σ2=σ2.
(II)
由协方差的计算公式以及数学期望的性质可得,
Cov(Y1,Yn)=E[(Y1-EY1)(Yn-EYn)]=E(Y1Yn)=E[(X1?)(Xn?)]
=E(X1Xn?X1?Xn+2)=E(X1Xn)?2E(X1)+E2
=0?E[+n |
|
j=2 |
X1Xj]+D+(E)2
=?σ2+σ2=?σ2.
(III)
由无偏估计的定义可得:
E[c(Y1+Yn)2]=cD(Y1+Yn)=c[DY1+DY2+2Cov(Y1,Yn)]=c[+?]σ2=cσ2=σ2,
故:c=.
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