高数题f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,minf(x)=-1,证明存在一点c属于（0,1）,使f''(c)>=8.

Question

高数题
f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,minf(x)=-1,证明存在一点c属于（0,1）,使f''(c)>=8.

Answer 1

由于f(x)在[0,1]上存在最小值-1,而f(0)=f(1)=0≠-1,故必在(0,1)内某点取得最小值,而该点为极值点,根据费马引理,知存在a属于(0,1)使得f'(a)=0.写出f(x)在a处的泰勒公式,f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(ξ)/2](x-a)^2,把f(a)=-1,f'(a)=0代人,有f(x)=-1+[f''(ξ)/2](x-a)^2.则f(0)=-1+[f''(ξ1)/2]a^2=0,f(1)=-1+[f''(ξ2)/2](1-a)^2=0,即f''(ξ1)=2/a^2,f''(ξ2)=2/(1-a)^2,.由于0