设函数F(x)的定义域为D={x│x∈R,x≠0且x≠1}且满足F(x)+F((x-1)/x)=1+x求F(x)答案是F(x)=(x^3-x^2-1)/(答案是F(x)=(x^3-x^2-1)/(2x(x-1))，怎么解要过程

Question

设函数F(x)的定义域为D={x│x∈R,x≠0且x≠1}且满足F(x)+F((x-1)/x)=1+x 求F(x) 答案是F(x)=(x^3-x^2-1)/(
答案是F(x)=(x^3-x^2-1)/(2x(x-1))，怎么解 要过程

Answer 1

这道题确实比较阴险,比较难算.既然你已经有答案了,我就给你讲讲方法吧,我懒得算数了.
F(x)+F((x-1)/x)=1+x 记为方程1
用(x-1)/x替代x,得到
F((x-1)/x)+F((-1)/(x-1))=1+(x-1)/x 记为方程2
用(-1)/(x-1)替代方程1中的x,得到
F((-1)/(x-1))+F(x)=1+(-1)/(x-1) 记为方程3
三个方程,三个未知数F(x)、F((x-1)/x)、F((-1)/(x-1)),联立解出即可