已知一圆锥曲线上任意一点p(x,y)满足√(x^2+(y-4)^2)+√(x^2+(y+4)^2)=10,请将此方程化为圆锥曲线的标准方程

Question

已知一圆锥曲线上任意一点p(x,y)满足√(x^2+(y-4)^2)+√(x^2+(y+4)^2)=10,请将此方程化为圆锥曲线的标准方程

Answer 1

令k=(y-4)/(x-2)问题可转化为点A（2,4)到椭圆上一点构成的斜率大小问题
作图可知：A在椭圆外,于是k在两条切线的斜率之间,设切点为B(x0,y0)
考虑椭圆上半部有：y=√(1-x^2/4),于是：y'=-x/4y
于是过B的椭圆的切线方程为：y-y0=-x0/4y0*(x-x0)
而A点在此切线方程上于是：4y0(4-y0)=-x0(2-x0)
即：x0^2+4y0^2=2x0+16y0 ①
注意到B在椭圆上：x0^2+4y0^2=4 ②
①②联立可得：x0=2或-30/7,y0=0或8/17
于是：k≥15/16
所以(y-4)/(x-2)的最小值为15/16.
备注:也可由A点和k写出切线方程代入椭圆令Δ=0求出k,不过好像要解4次方程,比较烦.求导时用到了复合函数的求导法,应该没问题吧.当然也可直接求导：
x^2/4+y^2=1两边同时对x求导：2x/4+2yy'=0整理即得.