设二维随机型变量（X，Y）的联合概率密度为：f（x，y）=k，0＜x＜1，0＜y＜x0，其他求：（1）k；（2）E（X），E（Y）；（3）D（X），D（Y）；（4）相关系数ρXY．

Question

设二维随机型变量（X，Y）的联合概率密度为：
f（x，y）=

k，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其他

 求：
（1）k；
（2）E（X），E（Y）；
（3）D（X），D（Y）；
（4）相关系数ρ_XY．

Answer 1

（1）由

∫

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

f(x，y)dxdy＝1，得

∫

1 0

dx

∫

x 0

kdy＝(1)/(2)k＝1
∴k=2
（2）∵边缘概率密度为：
fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x
fY(y)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dx=

∫

1 y

2dx＝2(1−y)
∴EX＝

∫

+∞ −∞

xfX(x)dx=

∫

1 0

x•2xdx＝(2)/(3)
EY＝

∫

+∞ −∞

yfY(y)dy=

∫

1 0

y•2(1−y)dx＝(1)/(3)
（3）由（2）求出的边缘概率密度，得
EX2＝

∫

+∞ −∞

x2fX(x)dx=

∫

1 0

x2•2xdx＝(1)/(2)
EY2＝

∫

+∞ −∞

y2fY(y)dy=

∫

1 0

y2•2(1−y)dx＝(1)/(6)
∴DX＝EX2−(EX)2＝(1)/(18)
DY＝DY2−(DY)2＝

作业帮用户 2017-11-15

问题解析

（1）根据概率密度函数的性质①f（x，y）≥0，②

∫

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

f(x，y)dxdy＝1，就可求出k；（2）和（3）先求出两个的边缘概率密度，然后根据数学期望和方差的定义求；（4）先求出cov（X，Y），再利用ρXY＝(Cov(X，Y))/(√(DX)•√(DY))．

名师点评

本题考点：

联合分布、边缘分布和条件分布的关系；相关系数的定义．

考点点评：

此题考查概率密度函数的性质、边缘概率密度的求法、期望和方差的定义、相关系数的求法，都是必须掌握的基础知识点．

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