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正余弦定理运用一题在等边三角形ABC中,AB=a,O为等边三角形的中心,过O的直线交AB于M,交AC于N,则1/OM^2+1/ON^2是否有最值?若有最值,则求1/OM^2+1/ON^2的最大值和最小值

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正余弦定理运用一题在等边三角形ABC中,AB=a,O为等边三角形的中心,过O的直线交AB于M,交AC于N,则1/OM^2 + 1/ON^2是否有最值?若有最值,则求1/OM^2 + 1/ON^2 的最大值和最小值
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答案和解析
设角AMO=x,则角ANO=(120-x),正弦定理AO/sinAMO=OM/sinMAO,AO/sinANO=ON/sinNAO 角MAO=角NAO=30,1/(OM)^2+1/(ON)^=(sinx的平方+sin(120-x)的平方)*1/2AO AO=根号3/3a是定值,求导得x=60,为极值,x范围(30,90),算出最大值根号3/4a 最小值 5乘根号3/16a