已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.

Question

已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
（Ⅲ）求证： （ ，e是自然对数的底数）.

Answer 1

已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
（Ⅲ）求证： （ ，e是自然对数的底数）.

（Ⅰ）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（Ⅱ）实数a的取值范围是 ；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间,即判断 在各个区间上的符号,只需对 求导即可；（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立，即 恒成立，令  （ ），只需求出 最大值,让最大值小于等于零即可,可利用导数求最值,从而求出 的取值范围；（Ⅲ）要证 （ 成立,即证 ,即证 ,由（Ⅱ）可知当 时， 在 上恒成立，又因为 ,从而证出.
试题解析：（Ⅰ）当 时， （ ）， （ ），
由 解得 ，由 解得 ,故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（Ⅱ）因当 时，不等式 恒成立，即 恒成立，设  （ ），只需 即可．由 ，
（ⅰ）当 时， ，当 时，

作业帮用户 2016-11-30

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