早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,(a为常数,e为自然对数的底).(Ⅰ)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x
题目详情
已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,(a为常数,e为自然对数的底).
(Ⅰ)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由.
(Ⅰ)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f'(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x]=e-x•(-x)•[x-(2-a)],令f'(x)=0,
得x=0或x=2-a,
当a=2时,f'(x)=-x2e-x≤0恒成立,此时f(x)单调递减;
当a<2时,f'(x)<0时,2-a>0,
若x<0,则f'(x)<0,若0<x<2-a,则f'(x)>0,x=0是函数f(x)的极小值点;
当a>2时,2-a<0,若x>0,则,若2-a<x<0,则f'(x)>0,
此时x=0是函数f(x)的极大值点,
综上所述,使函数f(x)在x=0时取得极小值的a的取值范围是a<2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a<2,且当x>2-a时,f'(x)<0,
因此x=2-a是f(x)的极大值点,fmax(x)=f(2-a)=(4-a)ea-2,
于是g(x)=(4-x)ex-2(x<2)
g'(x)=-ex-2+ex-2(4-x)=(3-x)ex-2,令h(x)=(3-x)ex-2(x<2),
则h'(x)=(2-x)ex-2>0恒成立,
即h(x)在(-∞,2)是增函数,
所以当x<2时,h(x)<h(2)=(3-2)e2-2=1,即恒有g'(x)<1,
又直线2x-3y+m=0的斜率为
,直线3x-2y+n=0的斜率为
,
所以由导数的几何意义知曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0相切.
得x=0或x=2-a,
当a=2时,f'(x)=-x2e-x≤0恒成立,此时f(x)单调递减;
当a<2时,f'(x)<0时,2-a>0,
若x<0,则f'(x)<0,若0<x<2-a,则f'(x)>0,x=0是函数f(x)的极小值点;
当a>2时,2-a<0,若x>0,则,若2-a<x<0,则f'(x)>0,
此时x=0是函数f(x)的极大值点,
综上所述,使函数f(x)在x=0时取得极小值的a的取值范围是a<2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a<2,且当x>2-a时,f'(x)<0,
因此x=2-a是f(x)的极大值点,fmax(x)=f(2-a)=(4-a)ea-2,
于是g(x)=(4-x)ex-2(x<2)
g'(x)=-ex-2+ex-2(4-x)=(3-x)ex-2,令h(x)=(3-x)ex-2(x<2),
则h'(x)=(2-x)ex-2>0恒成立,
即h(x)在(-∞,2)是增函数,
所以当x<2时,h(x)<h(2)=(3-2)e2-2=1,即恒有g'(x)<1,
又直线2x-3y+m=0的斜率为
2 |
3 |
3 |
2 |
所以由导数的几何意义知曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0相切.
看了 已知函数f(x)=(x2+a...的网友还看了以下:
无穷小与极限为0的区别f(0)=0,f(x)在点X=0处可导的充分必要条件是limh->0f(2h 2020-04-27 …
f(x+y)=f(x)f(y),求f'(x)与f(x)的关系?设f在正无穷到负无穷有定义,且对所有 2020-05-13 …
平面向量的集合A到A的映射f由f(x)=x-2(x·a)a确定面向量的集合A到A的映射f由f(向量 2020-05-17 …
已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x) 2020-05-22 …
已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x) 2020-06-08 …
设f(x)=x^2x≥3或ax+bx<3,试确定a,b的值,使f在x=3或字是一个大括号在等号的后 2020-06-18 …
求导问题若f(x)在点x=a的邻域内有定义,且除去点x=a外恒有[f(x)-f(a)]/(x-a) 2020-07-31 …
数学分析中函数单调性问题设函数f在开区间(a,b)上定义,且对每一个点x∈(a,b)存在邻域U(x 2020-07-31 …
如果y=f(x)的反函数是y=f-1(x),则下列命题中一定正确的是()A.若y=f(x)在[1, 2020-08-01 …
(2014•辽宁模拟)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足f′(x)−f 2020-10-31 …