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设椭圆的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点。(1)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>。
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设椭圆 的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点。 (1)若直线AP与BP的斜率之积为 ,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|> 。 |
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答案和解析
设椭圆 的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点。 (1)若直线AP与BP的斜率之积为 ,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|> 。 |
(1)设P(x 0 ,y 0 ), ∴ ① ∴椭圆 的左右顶点分别为A,B, ∴A(-a,0),B(a,0) ∴ , ∵直线AP与BP的斜率之积为 , ∴ 代入①并整理得 ∵y 0 ≠0, ∴a 2 =2b 2 ∴ ∴ ∴椭圆的离心率为 ; (2)依题意,直线OP的方程为y=kx,设P(x 0 ,kx 0 ), ∴ ∵a>b>0,kx 0 ≠0, ∴ ∴ ② ∵|AP|=|OA|,A(-a,0), ∴ ∴ ∴ 代入②得 ∴k 2 >3 ∴直线OP的斜率k满足|k|> 。 |
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