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椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k
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椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值. |
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答案和解析
椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值. |
(1) +y 2 =1 (2)见解析 |
(1)解:因为e= = , 所以a= c,b= c. 代入a+b=3, 得c= ,a=2,b=1. 故椭圆C的方程为 +y 2 =1. (2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点, 则直线BP的方程为y=k(x-2)(k≠0,k≠± ), ① 把①代入 +y 2 =1, 解得P . 直线AD的方程为y= x+1.② ①与②联立解得M . 由D(0,1),P ,N(x,0)三点共线知 = , 解得N . 所以MN的斜率为m= = = , 则2m-k= -k= (定值). |
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