早教吧作业答案频道 -->数学-->
若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上是增函数,且F(x)=f(x)x在I上也是增函数,则称y=f(x)是I上的“完美增函数”.已知f(x)=ex+x,g(x)=lnx-1.(1)判断函数f(x)是否为区间(0,+
题目详情
若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上是增函数,且F(x)=
在I上也是增函数,则称y=f(x)是I上的“完美增函数”.已知f(x)=ex+x,g(x)=lnx-1.
(1)判断函数f(x)是否为区间(0,+∞)上的“完美增函数”;
(2)若函数g(x)是区(0,m]上的“完美增函数”,求整数m的最大值.
f(x) |
x |
(1)判断函数f(x)是否为区间(0,+∞)上的“完美增函数”;
(2)若函数g(x)是区(0,m]上的“完美增函数”,求整数m的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)=ex+x,∴f′(x)=ex+1>0,
∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
又∵F(x)=
=
+1,
∴F′(x)=
≥0在区间(0,+∞)上不恒成立,
∴F(x)在区间(0,+∞)上不一定是增函数,
∴函数f(x)不是区间(0,+∞)上的“完美增函数”;
(2)函数g(x)=lnx-1在区间(0,+∞)是单调增函数,
设G(x)=
=
,
∴G′(x)=
,x>0,
令G′(x)=0,解得lnx=2,即x=e2;
∴当0<x≤e2时,G′(x)≥0,函数G(x)单调递增;
当x>e2时,G′(x)<0,函数G(x)单调递减;
∴当x∈(0,e2]时,g(x)与G(x)都为单调递增函数,是“完美函数”;
即函数g(x)是区(0,m]上的“完美增函数”时,整数m的最大值为[e2]=7.
∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
又∵F(x)=
f(x) |
x |
ex |
x |
∴F′(x)=
ex(x-1) |
x2 |
∴F(x)在区间(0,+∞)上不一定是增函数,
∴函数f(x)不是区间(0,+∞)上的“完美增函数”;
(2)函数g(x)=lnx-1在区间(0,+∞)是单调增函数,
设G(x)=
g(x) |
x |
lnx-1 |
x |
∴G′(x)=
2-lnx |
x2 |
令G′(x)=0,解得lnx=2,即x=e2;
∴当0<x≤e2时,G′(x)≥0,函数G(x)单调递增;
当x>e2时,G′(x)<0,函数G(x)单调递减;
∴当x∈(0,e2]时,g(x)与G(x)都为单调递增函数,是“完美函数”;
即函数g(x)是区(0,m]上的“完美增函数”时,整数m的最大值为[e2]=7.
看了 若函数f(x)在定义域D内的...的网友还看了以下:
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-2),且在区间[0,2]上是减函数.若方 2020-05-17 …
已知定义在R上的函数f(x)=2*+A/2*(a为常数)1.若函数是R上的奇函数.1.求a2,判断 2020-05-17 …
1若f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内 2020-05-23 …
我们知道,如果定义在某区间上的函数f(x)满足对该区间上的任意两个数x1、x2,总有不等式f(x1 2020-06-03 …
已知定义在区间[-1,1]上的函数f(x)=2x+bx2+1为奇函数.(1)求实数b的值.(2)判 2020-06-03 …
设f(x)在定义域R上的奇函数,并且y=(x)的图象关于x=1/2对称,则f(1)+f(2)+f( 2020-06-03 …
已知定义域为(O)的函数满足:①对任意,恒有②当.记区间,其中,当时.的取值构成区间,定义区间(a 2020-07-30 …
刚学完不定积分,总结几句话不知对不对:如果一个函数在有限闭区间[a,b]上可积,则此函数在区间[a 2020-08-01 …
函数周期性已知定义在R上的奇函数FX满足,F(X-4)=-F(X),且在区间[0,2]上市增函数, 2020-08-01 …
已知定义在R上的二次函数f(x)=ax^2-2bx+3(1)如果a是集合{1,2,3.,4}中的任一 2020-12-08 …