一道敛散性判断题若函数f(x)在开区间正负无穷内连续,{Xn}为一数列.为什么当{Xn}收敛时,必有{f(Xn)}收敛?我这么想得设Xn=1,1/2,1/3,...,1/n,f(Xn)=1/Xnn趋于无穷时，有Xn=0则limf(Xn)=f(limXn)=f(

Question

一道敛散性判断题
若函数f(x)在开区间正负无穷内连续,{Xn}为一数列.
为什么当{Xn}收敛时,必有{f(Xn)}收敛?
我这么想得 设Xn = 1 ,1/2 ,1/3 ,...,1/n,f(Xn) = 1 / Xn
n趋于无穷时，有Xn = 0
则lim f(Xn) = f(limXn) = f(0) = 无穷，不收敛

Answer 1

这个结论很直观的,设x_n->a,容易想到应该有f(x_n)->f(a).这可以说是连续函数的基本性质.至于证明,用函数连续的ε-δ定义 + 序列的ε- N 定义即可.对任意ε>0,由于函数f(x)在a连续,可知存在δ>0,任意x:|x-a|a,可知存...