正反函数在定义域[-1,1]内,请说明g(x)=x/(x^2+1)有反函数.注：不能用图像作说明.

Question

正反函数
在定义域[-1,1]内,请说明g(x)=x/(x^2+1)有反函数.注：不能用图像作说明.

Answer 1

只要一个连续函数在定义域内单调的,则这个函数必有反函数
所以我们只要证明出在定义域[-1,1]内,g(x)单调就证明出它有反函数
证明：令a>b都在定义域内,则g(a)-g(b)=a/(a^2+1)-b/(b^2+1)
通分后,分母都大于0,分子部分为a(b^2+1)-b(a^2+1)=(1-ab)(a-b)
a,b在定义域内,1-ab>0,a-b>0
所以g(a)>g(b),
可见,在定义域内,g(x)单调递增,
所以g(x)在定义域内必有反函数