数学分析问题设f(x)在[a,b]上连续且单增,求证,定积分下界a上界b被积函数xf(x)大于等于a+b/2乘定积分f(x),a,b为其上下界

Question

数学分析问题
设f(x)在[a,b]上连续且单增,求证,定积分下界a上界b被积函数xf(x)大于等于a+b/2乘定积分f(x),a,b为其上下界

Answer 1

设F(x)=∫tf(t)dt -[(a+x)/2]*∫f(t)dt （t的下限为a,上限为x）
显然,F(a)=0,F(b)=∫tf(t) -[(a+b)/2]*∫f(t)dt (t下限为a,上限为b)
无疑,F(b)>0即为题目要求证明的不等式的变形,可转化为证明F(b)>F(a),由于a0,得证
当然,如果不用积分中值定理的话,在化简进行到①处时,可继续做如下变换：
F'(x)=∫f(x)dt(t下限a,上限x) -∫f(t)dt(t下限a,上限x)
=∫[f(x)-f(t)]dt
由于x>t,由f(x)单调性知f(x)-f(t)>0,再有积分的不等式性质,可知F'(x)>0