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设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是（）A．r（A）=r（B）B．r（A）=r（A⋮B）C．r（B）=r（A⋮B）D．r（A⋮B）=r（A）+r（B）
题目详情
设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是（ ）
A．r（A）=r（B）
B．r（A）=r（A⋮B）
C．r（B）=r（A⋮B）
D．r（A⋮B）=r（A）+r（B）
A．r（A）=r（B）
B．r（A）=r（A⋮B）
C．r（B）=r（A⋮B）
D．r（A⋮B）=r（A）+r（B）
▼优质解答
答案和解析
由题意，设A=[α1，α2，…，αn]，X=[x1，x2，…，xn]，B=[β1，β2，…，βp]
则矩阵方程AX=B有解
⇔Axj=βj有解（j=1，2，…，p）
⇔r[α1，α2，…，αn]=r[α1，α2，…，αn，βj]（j=1，2，…，p）
⇔r[α1，α2，…，αn]=r[α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp]
⇔r（A）=r（A⋮B）
故选：B
则矩阵方程AX=B有解
⇔Axj=βj有解（j=1，2，…，p）
⇔r[α1，α2，…，αn]=r[α1，α2，…，αn，βj]（j=1，2，…，p）
⇔r[α1，α2，…，αn]=r[α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp]
⇔r（A）=r（A⋮B）
故选：B
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