1.求棱长为1的正四面体外接球的体积2.球与它的内接正方体的表面积之比是3.已知一个正方体的顶点都在球面上,若它的棱长是4cm,则这个球的表面积是4.已知一个正方体的顶点都在球面上,若球

Question

1.求棱长为1的正四面体外接球的体积
2.球与它的内接正方体的表面积之比是
3.已知一个正方体的顶点都在球面上,若它的棱长是4cm,则这个球的表面积是
4.已知一个正方体的顶点都在球面上,若球的体积是4.5π,则正方体的表面积是
这种题有什么规律吗?几何体与它的外接球的表面积和体积有什么关系?

Answer 1

1、求棱长为1的正四面体外接球的体积
解析：∵正四面体为A-BCD
过A作AO⊥面BCD交面BCD于O,O是BCD的中心
连接BO
BO = √3/2*2/3=√3/3
∵AB =1
由勾股定理AO^2=1-1/3=2/3==>AO=√6/3
设外接球半径为R,球心O’必在AO上
连接O’B==>O’B=O’A=R
则O’B^2-OO’^2=OB^2
R^2-(√6/3-R)^2=1/3==>R=√6/4
体积V = 4π*R^3/3=π√6/8.

2、球与它的内接正方体的表面积之比是
解析：设球半径为R,内接正方体棱长为a
内接正方体的对角线的长度为球的直径2R
∴a^2+a^2+a^2=4R^2
a^2=4R^2/3
正方体的表面积为
S=6a^2=8R^2
球的表面积是S1=4πR^2.
∴球与它的内接正方体的表面积之比是π/2

3、已知一个正方体的顶点都在球面上,若它的棱长是4cm,则这个球的表面积是
由第2题知a^2=4R^2/3==>R^2=3/4a^2
∵a=4,∴球的表面积是：S=48π

或球与它的内接正方体的表面积之比是π/2
S=96*π/2=48π

4、已知一个正方体的顶点都在球面上,若球的体积是4.5π,则正方体的表面积是
解析：∵球V=4/3πR^3=4.5π
∴球R=3/4,
由第2题a^2=4R^2/3=3/4
正方体的表面积S=6a²=6*3/4=9/2