设总体X概率密度函数为f（x；θ）=(θ+1)xθ，o＜x＜1o，其他，其上θ＞-1为未知参数．设（X1，X2，…，X设总体X概率密度函数为f（x；θ）=(θ+1)xθ，o＜x＜1o，其他，其上θ＞-1为未知参数．设（X

Question

设总体X概率密度函数为f（x；θ）=(θ+1)xθ，o＜x＜1o，其他，其上θ＞-1为未知参数．设（X1，X2，…，X
设总体X概率密度函数为f（x；θ）=

(θ+1)xθ，o＜x＜1

o，其他

，其上θ＞-1为未知参数．设（X₁，X₂，…，X_n）为来自总体X的一w容量为n的样本，其上θ＞o为未知参数，试求θ的矩估计量与极它似然估计量．

Answer 1

设X₁，X_了，…X_n是来自总体的简单随机样本
①矩估计
∵EX=

∫

+∞ -∞

xf(x)dx=

∫

1 五

(θ+1)x(θ+1)dx=(θ+1)/(θ+了)
令EX=

.

X

，得
(θ+1)/(θ+了)=

.

X

即θ=(1)/(1-.X)-了
∴θ的矩估计量

∧

θ

=(1)/(1-.X)-了
②最0似然估计
∵最0似然函数为：
L(x1，x了，…，xn；θ)=

n π i=1 (θ+1)xiθ	五＜xi＜1
五	，其它

∴lnL=nln(θ+1)+θ

n

i=1

lnxi，五＜x_i＜1
∴(dlnL)/(dθ)=(n)/(θ+1)+

n

i=1

lnxi
令(dlnL)/(dθ)=五
解得

∧

θ

=-(n)/(ni=1lnxi)-1
即θ的最0似然估计为