已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（l）求椭圆的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且

Question

已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（l）求椭圆的方程；
（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为(1)/(16)，求k的取值范围．

Answer 1

（1）设短轴的两个三等分点分别为M，N，F为焦点，则△MNF为正三角形，
∴|OF|=(√(3))/(2)|MN|，
∵椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2，
∴1=(√(3))/(2)•(2b)/(3)，解得b=√(3)，
∴a=√(b2+c2)=2，
∴椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
此方程有两个不等实根，于是3+4k²≠0，且△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0．
整理得-m²+3+4k²＞0． ①
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x₀，y₀）满足x₀=(−4km)/(4k2+3)，y₀=kx₀+m=(3m)/(4k2+3)．
从而线段MN的垂直平分线方程为y-(3m)/(4k2+3)=-

作业帮用户 2016-12-15

问题解析

（1）利用椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，结合焦距为2，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线l的方程，代入椭圆的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力，属于中档题．

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