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设直线y=t与曲线C:y=x(x-3)2的三个交点分别为A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<b<c.现给出如下结论:①abc的取值范围是(0,4);②a2+b2+c2为定值;③c-a有最小值无最大值.其中
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设直线y=t与曲线C:y=x(x-3)2的三个交点分别为A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<b<c.现给出如下结论:
①abc的取值范围是(0,4);
②a2+b2+c2为定值;
③c-a有最小值无最大值.
其中正确结论的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
▼优质解答
答案和解析
令f(x)=x(x-3)2=x3-6x2+9x,f′(x)=3x2-12x+9,令f′(x)=0得x=1或x=3.
当x<1或x>3时,f′(x)>0,当1∴f(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,3)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数,
当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=4,当x=3时,f(x)取得极小值f(3)=0.
作出函数f(x)的图象如图所示:
∵直线y=t与曲线C:y=x(x-3)2有三个交点,∴0令g(x)=x(x-3)2-t=x3-6x2+9x-t,则a,b,c是g(x)的三个实根.
∴abc=t,a+b+c=6,ab+bc+ac=9,
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=18.
由函数图象可知f(x)在(0,1)上的变化率逐渐减小,在(3,4)上的变化率逐渐增大,
∴c-a的值先增大后减小,故c-a存在最大值,不存在最小值.
故①,②正确,
故选:C.
当x<1或x>3时,f′(x)>0,当1
当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=4,当x=3时,f(x)取得极小值f(3)=0.
作出函数f(x)的图象如图所示:
∵直线y=t与曲线C:y=x(x-3)2有三个交点,∴0
∴abc=t,a+b+c=6,ab+bc+ac=9,
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=18.
由函数图象可知f(x)在(0,1)上的变化率逐渐减小,在(3,4)上的变化率逐渐增大,
∴c-a的值先增大后减小,故c-a存在最大值,不存在最小值.
故①,②正确,
故选:C.
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