在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：（1）这n个圆把平面划分成多少个平面区域？（2）这n个圆共有多

Question

在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

（1）这n个圆把平面划分成多少个平面区域？
（2）这n个圆共有多少个交点？

Answer 1

（1）由分析的表易知
S₂-S₁=2，
S₃-S₂=3，
S₄-S₃=4，
S₅-S₄=5，
…
由此，不难推测：S_n-S_n-1=n．
把上面（n-1）个等式左、右两边分别相加，就得到：S_n-S₁=2+3+4+…+n，
因为S₁=2，所以S_n=2+2+3+4+…+n=1+（1+2+3+4+…+n）=1+(n(n+1))/(2)=(n2+n+2)/(2)．
∴n个圆过P点时，可把平面划分成(n2+n+2)/(2)个平面区域；
（2）由表容易发现
a₁=1，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
a₅-a₄=4，
…
a_n-1-a_n-2=n-2，
a_n-a_n-1=n-1．
n个式子相加a_n=1+（1+2+3+4+…+n-1）=1+((n−1)n)/(2)=(n2−n+2)/(2)．
∴这n个圆共有(n2−n+2)/(2)个交点．